欧姆定律/基尔霍夫定律与线性一阶微分方程的关系

本文试图透过标准的工程公式及解释来理解欧姆定律及基尔霍夫定律，并运用线性一阶微分方程来解例题。

什么是电路

最简单的电路通常是串联电路的形式，有一个能量源或电动势输入，如来自电池或直流发电机，和一个消耗这种能量的电阻负载，如灯泡，如下图所示:

参考图，当开关闭合时，电流我通过电阻器，在电阻器上产生电压。意思是，当测量时，电阻器两端的电位差将显示不同的值。这可以用电压表来证实。

由上述情形，可推导出标准欧姆定律为:

通过电阻的压降ER与瞬时电流I成正比，可以表示为:

呃=国际扶轮(方程1)

在上式中，R定义为比例常数，称为电阻的电阻。

这里我们测量电压呃用伏特表示电阻R欧姆，和电流我在安培。

这解释了欧姆定律在一个简单电路中的最基本形式。
在更复杂的电路中，还包括电容和电感两种更重要的元件。

什么是一个电感

一个感应器可以被定义为一种元素，在电流中产生一种惯性效应，就像质量在机械系统中的作用一样。对于电感器，实验产生了以下结果:

的电压降埃尔与电流i的瞬时时间变化率成正比。这可以表示为:

EL = L dl / dt(方程# 2)

其中，L成为比例常数，被称为电感器的电感，测量在亨利。时间t的单位是秒。

什么是电容器

电容器只是一种储存电能的装置。实验使我们得到以下解释:

电容器的压降与电容器上的瞬时电荷Q成正比，可以表示为:

EC = 1/C x Q(方程# 3)

C被称为电容，并以法拉;电荷问的单位是库仑。

然而自我(C)＝dQ / dt,我们可以将上式写成:

电流的值我(t)在给定的电路中，可通过求解下列物理定律所产生的方程来求解:

理解基尔霍夫定律(KVL)

古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫(Gustav Robert Kirchhoff, 1824-1887)是一位德国物理学家，他的流行定律可以这样理解:

基尔霍夫电流定律(KCL)指出:

在电路的任何一点上，流入电流之和等于流出电流之和。

基尔霍夫电压定律(KVL)表明:

任何闭环周围所有瞬时电压降的代数和为零，或者闭环上施加的电压等于回路其余部分电压降的和。

例# 1:参考下面的RL图，结合式1、2和基尔霍夫电压，我们可以推导出下面的表达式:

方程:4

让我们考虑电动势恒定的情况A:

在上面描述的第4个方程中，如果E = E0 =常数，那么我们就可以推导出下面的方程:

方程:5

这里最后一项接近于0t趋向于无穷，以至于我(t)趋向于极限值E0/R。经过足够长的延迟后，我将得到一个实际上的常数，而不依赖于c的值，这也意味着它与我们可能要求的初始条件无关。

考虑初始条件为I(0) = 0，得到:

方程:5 *

案例B(周期电动势):

考虑E(t) = Eo sin ωt，将式4考虑到情况B的通解可以写成:
(∝= r / l)

分部积分得到:

这可以进一步推导为:
ઠ= arctan ωL / R

当t趋于无穷时指数项趋于0。这意味着一旦过了相当长的一段时间，电流I(t)实际上就会产生谐波振荡。